已知数列{an}中，a1=56，an+1=13an+n+1，数列{bn}对任何n∈N*都有bn=an+1-12an求证{bn}为等比数

题文

已知数列{a_n}中，a₁=56，a_n+1=13a_n+（12）ⁿ⁺¹（n∈N^*），数列{b_n}对任何n∈N^*都有b_n=a_n+1-12a_n
（1）求证{b_n}为等比数列；
（2）求{b_n}的通项公式；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求limn→∞S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）bn+1=an+2-12an+1=13an+1+(12)n+2-12[13an+(12)n+1]=13（an+1-12an）=13b_n
若b_n=0，则an+1=12an，可得出12an=13an+(12)n+1，解得a_n=3×(12)n
∴a₁=32，不满足条件，故bn+1bn=13，即数列{b_n}是等比数列；
（2）b1=a2-12a1=13a1+(12)2-12a1=19，∴bn=(13)n+1
（3）an+1-12an=bn=(13)n+1，又an+1=13an+(12)n+1
∴13an+(12)n+1-12an=(13)n+1，∴a_n=3×(12)n-2×(13)n
S_n=3[12+14+18+…+(12)n]-12[13+19+127+…+(13)n]
=3×12×[1-(12)n]1-12-2×13×[1-(13)n]1-13
=(13)n-3×(12)n+2
∴limn→∞S_n=2

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=56，an+1.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。