已知数列{an} 是一个首项为a1，公比q＞0 的等比数列，前n项和为Sn，记Tn=a1+a2+a3+…+a2n-1，求limn→∞SnTn 的值．

题文

已知数列{a_n} 是一个首项为a₁，公比q＞0 的等比数列，前n项和为S_n，记T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n-1，求limn→∞SnTn 的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当q=1 时，S_n=na₁，T_n=（2n-1）a₁，（2分）
limn→∞SnTn=limn→∞na1(2n-1)a1=limn→∞n(2n-1)=12．（1分）
当q＞0，q≠1 时，Sn=a1(1-qn)1-q，Tn=a1(1-q2n-1)1-q，（1分）
∵limn→∞SnTn=limn→∞ 1-qn1-q2n-1，
当 0＜q＜1时，limn→∞ qⁿ=0，limn→∞SnTn=limn→∞ 1-01-0=1．
当 q＞1时，limn→∞SnTn=limn→∞1-qn1-q2n-1=limn→∞1q2n-1- 1qn-11q2n-1- 1=0-00-1=0．（2分）
综上：limn→∞SnTn=12，  q=11 ，   1＞q＞00 ，  q＞1．（1分）

解析

limn→∞

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an} 是一个首项为a1，公比.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。