数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=13an+2n+53(n∈N+)．若等差数列{bn}恰好使数列{an+bn}成公比为13的等比数列，求

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=2，an+1=13an+2n+53(n∈N+)．
（1）若等差数列{b_n}恰好使数列{a_n+b_n}成公比为13的等比数列，求通项b_n
（2）求通项a_n
（3）求limn→∞Snn2的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a1=2，an+1=13an+2n+53(n∈N+)，
所以an+1-3(n+1)+2=13(an-3n+2)，(n∈N+)，
所以数列{a_n-3n+2}以1为首项，13为公比的等比数列，
所以b_n=-3n+2时，等差数列{b_n}恰好使数列{a_n+b_n}成公比为13的等比数列．
（2）由（1）可知数列{a_n-3n+2}以1为首项，13为公比的等比数列，
所以a_n-3n+2=（13）^n-1，所以a_n=（13）^n-1+3n-2
（3）由（2）可知，数列{a_n}的前n项和为：
Sn=1-(13)n1-13+3n(1+n)2-2n=32-32(13)n+3n(1+n)2-2n；
∴limn→∞Snn2=limn→∞32-32(13)n+3n(1+n)2-2nn2=32．

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。