已知实数列{an}是公比小于1的等比数列，其中a2=4，且a1，a2+1，a3成等差数列．求数列{an}的通项公式；数列{an}的前n项和记为Sn

题文

已知实数列{a_n}是公比小于1的等比数列，其中a₂=4，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）数列{a_n}的前n项和记为S_n，求limn→∞S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q（q∈R），
因为a₂=4，所以a₁q=4…①…（2分）
又a₁，a₂+1，a₃成等差数列，所以a₁+a₃=2（a₂+1）=10，
即a₁+a₁q²=10…②…（5分）
由①②以及实数列{a_n}是公比小于1的等比数列，得a₁=8，q=12．
故an=8•(12)n-1．…（8分）
（Ⅱ）因为数列{a_n}是公比q=12．
因为q=12∈(0，1)，
所以limn→∞S_n=a11-q=16．…（12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知实数列{an}是公比小于1的等比数列.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。