定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为nx1+x2+…+xn．若数列{an}前n项的“倒平均数”为12n+4，求{an}的通项公式；设

题文

定义x₁，x₂，…，x_n的“倒平均数”为nx1+x2+…+xn（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}前n项的“倒平均数”为12n+4，求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：当n为奇数时，b_n=1，当n为偶数时，b_n=2．若T_n为{b_n}前n项的倒平均数，求limn→∞Tn；
（3）设函数f（x）=-x²+4x，对（1）中的数列{a_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤ann+1对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，
由题意，Tn=nSn=12n+4，
所以Sn=2n2+4n．  …（1分）
所以a₁=S₁=6，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n+2，
而a₁也满足此式．…（2分）
所以{a_n}的通项公式为a_n=4n+2．…（1分）
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，则当n为偶数时，Sn=3n2，…（1分）
当n为奇数时，Sn=3(n-1)2+1=3n-12．  …（1分）
所以Tn=23，n为奇数2n3n-1，n为偶数．   …（3分）
所以limn→∞Tn=23． …（2分）
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤ann+1对任意n∈N^*恒成立，
则-x²+4x≤4n+2n+1对任意n∈N^*恒成立，…（1分）
令cn=4n+2n+1，因为cn+1-cn=2(n+1)(n+2)＞0，
所以数列{c_n}是递增数列，…（1分）
所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．…（2分）
所以存在最大的实数λ=1，
使得当x≤λ时，f（x）≤ann+1对任意n∈N^*恒成立．（2分）

解析

nSn

考点

据考高分专家说，试题“定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。