设常数a＞0，(ax-1x)5展开式中x3的系数为-581，则a=______，limn→∞(a+a2+…+an)=______．

题文

设常数a＞0，(ax-1x)5展开式中x³的系数为-581，则a=______，limn→∞(a+a2+…+an)=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-1x）^r，整理得Tr+1=（-1）^rc₅^ra^5-rx^5-2r，
r=1时，即（-1）c₅¹a⁴=-581，∴a=13．故答案为13
（2）方法1：令s_n=a+a²+…+aⁿ=a×(1-an)1-a，
∴limn→∞（a+a²+…+aⁿ）=limn→∞a×(1-an)1-a=a1-a（∵a＜1时，limn→∞aⁿ=0）
=131-13=12．
故答案为12．
方法2：由a=13，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，
则limn→∞（a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，
由无穷递降等比数列的各项和公式（limn→∞s_n=a11-q），
可知limn→∞（a+a²+…+aⁿ）=a1-a═131-13=12．
故答案为12．

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“设常数a＞0，(ax-1x)5展开式中x.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。