定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为nx1+x2+…+xn．已知数列{an}前n项的“倒平均数”为12n+4，记cn=ann+1．（

题文

定义x₁，x₂，…，x_n的“倒平均数”为nx1+x2+…+xn（n∈N^*）．已知数列{a_n}前n项的“倒平均数”为12n+ 4，记c_n=ann+1（n∈N^*）．
（1）比较c_n与c_n+1的大小；
（2）设函数f（x）=-x²+4x，对（1）中的数列{c_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
（3）设数列{b_n}满足b₁=1，b₂=b（b∈R且b≠0），b_n=|b_n-1-b_n-2|（n∈N^*且n≥3），且{b_n}是周期为3的周期数列，设T_n为{b_n}前n项的“倒平均数”，求limn→∞T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，由题意得nSn=12n+4，所以S_n=2n²+4n，…（1分）
当n=1时，a₁=S₁=6，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n+2，而a₁也满足此式．
所以a_n=4n+2（n∈N^*）．…（1分）
所以c_n=ann+1=4-2n+1，…（1分）
∴c_n+1-c_n=2n+1-2n+2=2(n+1)(n+2)＞0，因此c_n＜c_n+1．…（1分）
（2）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立，
即-x²+4x≤c_n对任意n∈N^*恒成立，…（2分）
由（1）知数列{c_n}是递增数列，所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，（2分）
解得x≤1或x≥3．…（1分）
所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立．…（1分）
（3）由b₁=1，b₂=b，得b₃=|b-1|，…（1分）
①若b≥1，则b₃=b-1，b₄=|b₃-b₂|=1，b₅=|2-b|，因为{b_n}是周期为3的周期数列，故b₅=b₂=b，所以|2-b|=b，所以2-b=b，2-b=-b（舍），故b=1．
此时，{b_n}为1，1，0，1，1，0，…．符合题意．…（1分）
②若b＜1，则b₃=1-b，b₄=|b₃-b₂|=|1-2b|，因为{b_n}是周期为3的周期数列，故b₄=b₁=1，所以|1-2b|=1，即1-2b=1或1-2b=-1，解得b=0或b=1，均不合题意．…（1分）
设数列{b_n}的前n项和为S_n，则对n∈N^*，有S_n=2k，n=3k2k，n=3k-12k-1，n=3k-2…（1分）
即S_n=2n3，n=3k2n+23，n=3k-12n+13，n=3k-2，
所以T_n=32，n=3k3n2n+2，n=3k-13n2n+1，n=3k-2，
因此limn→∞T_n=32．（2分）

解析

nSn

考点

据考高分专家说，试题“定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。