已知数列{an}的各项均为正整数，且满足an+1=an2-2nan+2，又a5=11．求a1，a2，a3，a4的值，并由此推测出{an}的通项

题文

已知数列{a_n}的各项均为正整数，且满足a_n+1=a_n²-2na_n+2（n∈N^*），又a₅=11．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并由此推测出{a_n}的通项公式（不要求证明）；
（2）设b_n=11-a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，S_n′=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求limn→∞SnSn′的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a₅=11，得11=a₄²-8a₄+2，即a₄²-8a₄-9=0．解得a₄=9或a₄=-1（舍）．
由a₄=9，得a₃²-6a₃-7=0．
解得a₃=7或a₃=-1（舍）．
同理可求出a₂=5，a₁=3．
由此推测a_n的一个通项公式a_n=2n+1（n∈N^*）．
（2）b_n=11-a_n=10-2n（n∈N^*），可知数列{b_n}是等差数列．
S_n=n(b1+bn)2=n(8+10-2n)2=-n²+9n．
当n≤5时，S_n′=S_n=-n²+9n；
当n＞5时，S_n′=-S_n+2S₅=-S_n+40=n²-9n+40．
当n≤5时，SnSn′=1；
当n＞5时，SnSn′=-n2+9nn2-9n+40．
∴limn→∞SnSn′=limn→∞-n2+9nn2-9n+40=-1．

解析

n(b1+bn)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均为正整数，且满足.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。