在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an=|an-1-an-2|，n=3，4，5，…，则称{an}为“绝对差数列”．举出一个前五项不为零的“绝对差数

题文

在数列{a_n}中，若a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，则称{a_n}为“绝对差数列”．
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a₁=3，a₂=1，a₃=2，a₄=1，a₅=1，a₆=0，a₇=1，a₈=1，a₉=0，a₁₀=1．（答案不惟一）
（Ⅱ）因为在绝对差数列{a_n}中a₂₀=3，a₂₁=0．所以自第20项开始，该数列是a₂₀=3，a₂₁=0，a₂₂=3，a₂₂=3，a₂₄=0，a₂₅=3，a₂₆=3，a₂₇=o，
即自第20项开始．每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n→∞时，a_n的极限不存在．
当n≥20时，b_n=a_n+a_n+1+a_n+2=6，
所以limn→∞bn=6
（Ⅲ）证明：根据定义，数列{a_n}必在有限项后出现零项．证明如下：
假设{a_n}中没有零项，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|，
所以对于任意的n，都有a_n≥1，从而
当a_n-1＞a_n-2时，a_n=a_n-1-a_n-2≤a_n-1-1（n≥3）；
当a_n-1＜a_n-2时，a_n=a_n-2-a_n-1≤a_n-2-1（n≥3）
即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1．
令Cn=a2n-1(a2n-1＞a2n)a2n(a2n-1＜a2n)n=1，2，3，，
则0＜C_A≤C_n-1-1（n=2，3，4，）．
由于C₁是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项C₁＜0，这与C_n＞0（n=1，2，3，，）
矛盾．
从而{a_n}必有零项．
若第一次出现的零项为第n项，记a_n-1=A（A≠0），
则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，
即an+3k=0an+3k+1=A，k=0，1，2，3an+3k+2=A
所以绝对差数列{a_n}中有无穷多个为零的项．

解析

limn→∞

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，若a1，a2是正整数，.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。