函数f是定义在[0，1]上，满足f(x)=2f(x2)且f=1，在每个区间(12i，12i-1]上，y=f的图象都是平行

题文

函数f（x）是定义在[0，1]上，满足f(x)=2f(x2)且f（1）=1，在每个区间(12i，12i-1]（i=1，2，3，…）上，y=f（x）的图象都是平行于x轴的直线的一部分．
（1）求f（0）及f(12)，f(14)的值，并归纳出f(12i)（i=1，2，3，…）的表达式；
（2）设直线x=12i，x=12i-1，x轴及y=f（x）的图象围成的矩形的面积为a_i（i=1，2，3，…），求a₁，a₂及limn→∞(a1+a2+…+an)的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得f（0）=2f（0），故f（0）=0，
同理可得f（1）=2f（12），解得f(12)=12，
所以f（12）=2f（14），故f(14)=14，
由此可归纳出：f(12i)=12i（i=1，2，3，…）
（2）当12i＜x≤12i-1时，取f(x)=12i-1，
∴a1=12，a2=18，ai=122i-1（i=1，2，3，…）
所以{a_n}是首项为12，公比为14的等比数列，
∴limn→∞(a1+a2+…+an)=limn→∞12(1-14n)1-14=1234=23

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）是定义在[0，1]上，满足f.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。