已知数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且Sn=2-2an，Tn=3-bn-12n-2．求数列{an}、{bn}的通项公式；求lim

题文

已知数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，且S_n=2-2a_n，T_n=3-b_n-12n-2． 
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）求limn→∞（a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I ）由已知可得S₁=a₁=2-2a₁，T1=b1=3- b1-12-1
∴a1=23，b1=12
当n≥2时，S_n=2-2a_n，S_n-1=2-2a_n-1
两式相减可得，a_n=S_n-S_n-1=-2a_n+2a_n-1
∴an=23an-1
∴数列{a_n}是以23为首项，以23为公比的等比数列
由等比数列的通项可得，an=23•(23)n-1=(23)n（3分）
当n≥2，T_n=3-b_n-12n-2．Tn-1=3-bn-1-22n-3
两式相减可得，b_n=T_n-T_n-1=-bn+bn-1+12n-2
∴2bn=bn-1+12n-2
∴2ⁿb_n-2^n-1b_n-1=2，2b₁=1
∴数列{2ⁿb_n}是以以1为首项，已2为公差的等差数列
2ⁿb_n=1+2（n-1）=2n-1
∴bn=2n-12n（6分）
（II）W_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
则Wn=13+332+533+…+2n-13n
13Wn=132+333+…+2n-13n+1
两式相减可得，23Wn=13+2(132+133+…+13n)-2n-13n+1
=13+2•19(1-13n-1)1-13=23 -2(n+1)3n+1
∴Wn=1-n+13n（9分）
当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ＞2C_n¹+2²C_n²=2n²
∴0＜n+13n＜n+12n2
∵limn→∞n+12n2=0
∴limn→∞(1-n+13n)=1（12分）

解析

12-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}、{bn}的前n项和分别.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。