题文
设p，q为实数，α，β是方程x2-px+q=0的两个实根，数列{xn}满足x1=p，x2=p2-q，xn=pxn-1-qxn-2（n=3，4，…），
（1）证明：α+β=p，αβ=q；
（2）求数列{xn}的通项公式；
（3）若p=1，q=
，求{xn}的前n项和Sn．
答案
解：（1）由求根公式，不妨设α＜β，得
，
∴
，
；
（2）设
，则
，
由
得
，消去t，得
，
∴s是方程
的根，由题意可知，
，
①当α≠β时，此时方程组
的解记为
或
，
∴
，
即
、
分别是公比为
、
的等比数列，
由等比数列性质可得
，
，
两式相减，得
，
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
；
②当α=β时，即方程
有重根，∴
，
即
，得
，∴s=t，
不妨设s=t=α，由①可知
，
∵α=β，
∴
，即
，
等式两边同时除以αn，得
，即
，
∴数列
是以1为公差的等差数列，
∴
，
∴
；
综上所述，
；
（3）把p=1，
代入
，得
，
解得
，
∴
，
。
解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“设p，q为实数，α，β是方程x2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
