设数列{an}的前n项和Sn=，n=1，2，3，…求首项a1与通项an。，n=1，2，3，…，证明：。

题文

设数列{a_n}的前n项和S_n=

，n=1，2，3，…
（1）求首项a₁与通项a_n。
（2）

，n=1，2，3，…，证明：

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由


得


所以a₁=2
再由①有



将①和②相减得



整理得a_n+2ⁿ=4（a_n-1+2^n-1），n=2，3，…，
因而数列{a_n+2ⁿ}是首项为a₁+2 =4，公比为4的等比数列，
即a_n+2ⁿ=4×4^n-1=4ⁿ，n=1，2，3，…，
因而a_n=4ⁿ-2ⁿ，n=1，2，3，…。
（2）将a_n=4ⁿ-2ⁿ代入①得






所以




。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和Sn=，n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。