已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列．证明12S3，S6，S12﹣S6成等比数列

题文

已知数列{a_n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S_n是其前n项的和，a₁，2a₇，3a₄成等差数列．
（I）证明12S₃，S₆，S₁₂﹣S₆成等比数列；
（II）求和T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na3_n﹣2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：由a₁，2a₇，3a₄成等差数列，
得4a₇=a₁+3a₄，即4aq⁶=a+3aq³．
变形得（4q³+1）（q³﹣1）=0，
又∵公比q不等于1
所以4q³+1=0
由




得


所以12S₃，S₆，S₁₂﹣S₆成等比数列．
（Ⅱ）解：T_n=a₁+2a₄+3a₇++na_3n﹣2=a+2aq³+3aq⁶++naq ^3（n﹣1）．
即

①
①×

得：



=


所以

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项为a且公比q.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。