已知数列{}中，．若是函数的一个极值点．证明数列{+1﹣}是等比数列，并求数列{}的通项公式；记，当t=2时，数列{bn}的

题文

已知数列{

}中，

（t＞0且t≠1）．若

是函数

的一个极值点．
（Ⅰ）证明数列{

₊₁﹣

}是等比数列，并求数列{

}的通项公式；
（Ⅱ）记

，当t=2时，数列{b_n}的前n项和为

，求使

＞2008的n的最小值；
（Ⅲ）当t=2时，求证：对于任意的正整数n，有

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）

．
由题意

，即

，
∴

₊₁﹣

=t（

﹣

_﹣1）（n≥2），
∵t＞0且t≠1，
∴数列{

₊₁﹣

}是以t²﹣t为首项，t为公比的等比数列，
∴

₊₁﹣

=（t²﹣t）t^n﹣1=（t﹣1）tⁿ
∴a₂﹣a₁=（t﹣1）t
a₃﹣a₂=（t﹣1）t²
…


﹣

_﹣1=（t﹣1）t^n﹣1
以上各式两边分别相加得

，
∴

，
当n=1时，上式也成立，
∴


（Ⅱ）当t=2时，


∴

=2n﹣（1+

+

+…+

）=

．
由

＞2008，得

，

，
当n≤1004时，n+

＜1005，
当n≥1005时，n+

＞1005，
因此n的最小值为1005．
（Ⅲ）∵


∴

=


=

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{}中，（t＞0且t≠1）.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。