已知数列{}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+22求a3，a5；设bn=a2n

题文

已知数列{

}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m、n∈N*都有a_2m﹣1+a_2n﹣1=2a_m+n﹣1+2（m﹣n）²
（1）求a₃，a₅；
（2）设b_n=a_2n+1﹣a_2n﹣1（n∈N*），证明：{b_n}是等差数列；
（3）设c_n=（

₊₁﹣

）q^n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂﹣a₁+2=6
再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃﹣a₁+8=20
（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得a_2n+3+a_2n﹣1=2a_2n+1+8
于是[a_2（n+1）+1﹣a_{2（n+1）﹣1}]﹣（a_2n+1﹣a_2n﹣1）=8即b_n+1﹣b_n=8
所以{b_n}是公差为8的等差数列
（3）由（1）（2）解答可知{b_n}是首项为b₁=a₃﹣a₁=6，公差为8的等差数列
则b_n=8n﹣2，即a_2n+1﹣a_2n﹣1=8n﹣2
另由已知（令m=1）可得

=

﹣（n﹣1）²．
那么

₊₁﹣

=

﹣2n+1=

﹣2n+1=2n
于是c_n=2nq^n﹣1．
当q=1时，S_n=2+4+6++2n=n（n+1）
当q≠1时，S_n=2q⁰+4q¹+6q²++2nq^n﹣1．两边同乘以q，
可得qS_n=2q¹+4q²+6q³++2nqⁿ．
上述两式相减得（1﹣q）S_n=2（1+q+q²++q^n﹣1）﹣2nqⁿ=2

﹣2nqⁿ
=2


所以S_n=2


综上所述，S_n=

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{}满足a1=0，a2=2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。