已知数列{an}满足．求数列的前三项a1，a2，a3；求证：数列为等差数列；求数列{an}的前n项和Sn．

题文

已知数列{a_n}满足

 ．
（I）求数列的前三项a₁，a₂，a₃；
（II）求证：数列 

为等差数列；
（III）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（I）由 a_n=2a_n﹣1+2ⁿ﹣1（n∈N+，且n≥2）得 a₄=2a₃+2⁴﹣1=81，得a₃=33，
同理，可得 a₂=13，a₁=5．
（II）∵a_n=2a_n﹣1+2ⁿ﹣1，
∴ 

﹣

 = 

﹣

 =1，
故数列 

是以2为首项，以1为公差的等差数列．
（III）由（II）可得

  =2+（n﹣1）×1，
∴a_n=（n+1）2ⁿ+1．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ+n，
记T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ，
则有2T_n=2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ +（n+1）2ⁿ⁺¹．
两式相减，
可得﹣T_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ﹣（n+1）2ⁿ⁺¹=4+ 

﹣（n+1）2ⁿ⁺¹=﹣n·2ⁿ⁺¹，
解得  T_n=n×2ⁿ⁺¹，故 S_n=T_n+n=n×2ⁿ⁺¹+n=n?（2ⁿ⁺¹+1 ）．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足．（I）求数列.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。