已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0、且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4．求数列{an}与{bn}的通项公式；设

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0、且a₂，a₅，a₁₄分别是等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意自然数n均有：c1b1+c2b2+…+cnbn=an+1成立、求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，且a₂、a₅、a₁₄成等比数列
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）即d=2∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1
又∵b₂=a₂=3，b₃=a₅=9、∴q=3，b₁=1，b_n=3^n-1
（2）∵C1b1+C2b2++Cnbn=an+1①
∴C1b1=a2即C₁=b₁a₂=3
又C1b1+C2b2++Cn-1bn-1=an   (n≥2)②
①-②：Cnbn=an+1-an=2
∴C_n=2•b_n=2•3^n-1（n≥2）
∴Cn=3          (n=1)2•3n-1   (n≥2)
∴  C1+C2+C 3++C2010=3+2•31+2•32++2•32010-1=3+2•(31+32+33++32009)=3+2•3(1-32009)1-3=32010

解析

C1b1

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a1=1，公差.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。