已知n是正整数，数列{an}的前n项和为Sn，对任何正整数n，等式Sn=-an+12都成立．求数列{an}的首项a1；求数列{an}的通

题文

已知n是正整数，数列{a_n}的前n项和为S_n，对任何正整数n，等式S_n=-a_n+12（n-3）都成立．
（I）求数列{a_n}的首项a₁；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设数列{na_n}的前n项和为T_n，不等式2T_n≤（2n+4）S_n+3是否对一切正整数n恒成立？若不恒成立，请求出不成立时n的所有值；若恒成立，请给出证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）当n=1时，a1= S1= -a1+12(1-3)，解得a1=-12．
   （II）当n≥2时，an=Sn-Sn-1= 12an-1+14，则an-12=12(an-1-12)
因此数列{an-12}是首项为-1，公比为12的等比数列，
∴an-12=(-1)•(12)n-1
∴an=12-12n-1
 数列{a_n}的通项公式是an=12-12n-1
 （III）不等式2T_n≤（2n+4）S_n+3对一切正整数n都成立，
∵nan=n2-n•12n-1，
∴Tn=12(1+2+3+…+n)-(1+2•12+3•122+…+n•12n-1)
令Un=-(1+2•12+3•122+…+n•12n-1)
则12 Un= 12+2•122+3•123+…+(n-1)•12n-1+n•12n
上面两式相减：
12Un= 1+12+122 +…+12n-1-n•12n
即Un=4-n+22n-1
∴Tn=n(n+1)4- 4+n+22n-1=n2+n-164+n+22n-1
∵Sn=-an+12(n-3)=-12+12n-1+n-32=n-42+12n-1
∴2T_n-（2n+4）S_n=n2+n-162+n+22n-2-2(n+4)(n-4)2- n+22n-2=-n2+5n2
∴当n=2或n=3时，-n2+5n2的值最大，最大值为3，
∴对一切正整数n.2T_n-（2n+4）S_n≤3
∴不等式2T_n-（2n+4）S_n+3对一切正整数n都成立．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知n是正整数，数列{an}的前n项和为.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。