已知数列{an}，定义其倒均数是Vn=1a1+1a2+…+1ann，n∈N*．求数列{an}的倒均数是Vn=n+12，求数列{an}的通项公式an；

题文

已知数列{a_n}，定义其倒均数是Vn=1a1+1a2+…+1ann，n∈N*．
（1）求数列{a_n}的倒均数是Vn=n+12，求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设等比数列{b_n}的首项为-1，公比为q=12，其倒数均为V_n，若存在正整数k，使n≥k时，V_n＜-16恒成立，试求k的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意，1a 1+1a 2+…+1a nn=n+12
即1a 1+1a 2+…+1a n=n2+n2…（2分）
当n≥2时，1a 1+1a 2+…+1a n-1=(n-1)2+(n-1)2
两式相减得，得1an=n．(n≥2)∴an=1n(n≥2)…（6分）
当n=1时，1a1=1∴a₁=1适合上式…（7分）
故an=1n．…（8分）
（2）由题意，bn=-(12)n-1∴1bn=-2n-1．…..（10分）
Vn=1b1+1b2+…+1bnn=-(2-2n)1-2n=1-2n2…（12分）
不等式V_n＜-16恒成立，即1-2nn＜-16，也即2n-1＞16n恒成立．
易验证当n≤6时，左边＜右边；
当n=7时，左边=127＞112=右边．
故适合不等式V_n＜-16的最小K值为7．…（14分）

解析

1a 1+1a 2+…+1a nn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，定义其倒均数是Vn=1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。