已知函数f=logax且a≠1），若数列2，f，2n+4，…，成等差数列．求数列{an}的通项公

题文

已知函数f（x）=log_ax（a＞0）且a≠1），若数列2，f（a₁，f（a₂，…f（a_n），2n+4，…（n∈N^*），成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当a=2时，数列{b_n}满足b₁=4，b_n=4b_n-1+a_n-1，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）的公差为d，
∴2n+4=2+（n+2-1）d，∴d=2，
∴f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，
∴an=a2n+2，（5分）
（2）∵b_n=4b_n-1+a_n-1，∴bn=4bn-1+4n，
∴bn4n=bn-14n-1+1，∴bn4n-bn-14n-1=1，
∴bn4n=1+(n-1)×1，
∴bn=n4n，
∴Sn=1•41+2•42+3•43+…+n4n，①
∴4Sn=1•42+2•43+3•44+…+n4n+1，②
①-②得：-3Sn=41+42+43+…+4n-n4n+1，
∴Sn=(3n-1)4n+1+49（12分）

解析

bn4n

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=logax（a＞0）且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。