已知n=a0+a1+a22+a33+…+ann，求a0及Sn=a1+2a2+3a3+…+

题文

已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n；
（2）试比较S_n与n³的大小，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）取x=1，可得 a0=2n． …（1分）
对等式两边求导，得n(x+1)n-1=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)2+…+nan(x-1)n-1，
取x=2，则Sn=a1+2a2+3a3+…+nan=n•3n-1．       …（4分）
（2）要比较S_n与n³的大小，即比较：3^n-1与n²的大小，
当n=1，2时，3^n-1＜n²；  当n=3时，3^n-1=n²； 当n=4，5时，3^n-1＞n²． …（6分）
猜想：当n≥4时，3^n-1＞n²，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4时结论成立，
假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3^k-1＞k²，
当n=k+1时，3^（k+1）-1=3•3^k-1＞3k²．
而3k²-（k+1）²=2k²-2k-1=2k（k-1）-1≥2×4×3-1=23＞0，
∴3^（k+1）-1＞3•3^k-1＞3k²＞（k+1）²，故当n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3^n-1＞n²成立．    …（11分）
综上得，当n=1，2时，Sn＜n2； 当n=3时，Sn=n2；当n≥4，n∈N^*时，Sn＞n2．…（12分）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。