对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为{an}的“差数列”．若{an}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{an}的一个通项公式；（II

题文

对于数列{a_n}，定义数列{a_n+1-a_n}为{a_n}的“差数列”．
（I）若{a_n}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{a_n}的一个通项公式；
（II）若a₁=2，{a_n}的“差数列”的通项为2ⁿ，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）对于（II）中的数列{a_n}，若数列{b_n}满足a_nb_nb_n+1=-21•2⁸（n∈N^*），且b₄=-7．
求：①数列{b_n}的通项公式；②当数列{b_n}前n项的积最大时n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）如a_n=n²．（答案不惟一，结果应为a_n=An²+Bn+C的形式，其中A≠0）（3分）
（Ⅱ）依题意a_n+1-a_n=2ⁿ，n=1，2，3，
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）++（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+2^n-3++2=2ⁿ．（5分）
从面{a_n}是公比数为2的等比数列，
所以Sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2.（7分）
（Ⅲ）由a_nb_nb_n+1=-21•2ⁿ及a_n-1b_n-1b_n=-21•2ⁿ，两式相除得bn+1bn-1=12，
所以数列{b_2n-1}，{b_2n}分别是公比为12的等比数列
由b₄=-7得b₂=-14．
令n=1，由a₁b₁b₂=-21•2ⁿ得b₁=3•2⁶．
所以数列{b_n}的通项为bn=3•26•(12)n-12(n≥1，且n是奇数)-14•(12)n2-1(n≥2，且n是偶数)（10分）
②记数列{b_n}前n项的积为T_n．
令|bnbn+1|＜1，得|-2|•(12)n-8|＜1，
即(12)n-1＜121，解得n≥13.
所以当n是奇数时，|b₁b₂|＞1，|b₃b₄|＞1，，|b₁₁b₁₂|＞1，|b₁₃b₁₄|＜1，|b₁₅b₁₆|＜1，
从而|T₂|＜|T₄|＜|T₁₂|，|T₁₂|＞|T₁₄|＞．
当n是偶数时，|b₂b₃|＞1，|b₄b₅|＞1，，|b₁₂b₁₃|＞1，|b₁₄b₁₅|＜1，|b₁₆b₁₇|＜1，
从而|T₁|＜|T₃|＜|T₁₃|，|T₁₃|＞|T₁₅|．
注意到T₁₂＞0，T₁₃＞0，且T₁₃=b₁₃T₁₂=3T₁₂＞T₁₂，
所以当数列{b_n}前n项的积T_n最大时n=13．（14分）

解析

2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“对于数列{an}，定义数列{an+1-a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。