已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=23an+1；求数列{an}的通项公式；若数列{n|an|}的前n项和为Tn，求数列{Tn}的

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=23an+1（n∈N^*）；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{n|a_n|}的前n项和为T_n，求数列{T_n}的通项公式、 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a₁=3，当n≥2时，Sn-1=23an-1+1，
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=23an-23an-1，
∴n≥2时，anan-1=-2
∴数列a_n是首项为a₁=3，公比为q=-2的等比数列，
∴a_n=3•（-2）^n-1，n∈N^*
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n|a_n|=3n•2^n-1．
∴T_n=3（1+2•2¹+3•2²+4•2³++n•2^n-1）
2T_n=3（1•2¹+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ）
∴-T_n=3（1+2+2²+2³++2^n-1-n•2ⁿ）
∴-Tn=3[1-2n1-2-n•2n]
∴T_n=3+3n•2ⁿ-3•2ⁿ

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。