已知函数f=x2+x-1，α，β是方程f=0的两个根，f′是f的导数，设a1=1，an+1=an-f(an)f′(an)（n=

题文

已知函数f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a₁=1，an+1=an-f(an)f′(an)（n=1，2，…）．
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有a_n＞α；
（3）记bn=lnan-βan-α（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），
∴α=-1+52，β=-1-52；
（2）f'（x）=2x+1，an+1=an-a2n+an-12an+1=an-12an(2an+1)+14(2an+1)-542an+1
=14(2an+1)+542an+1-12，
∵a₁=1，
∴有基本不等式可知a2≥5-12＞0（当且仅当a1=5-12时取等号），
∴a2＞5-12＞0，同样a3＞5-12，an＞5-12=α（n=1，2），
（3）an+1-β=an-β-(an-α)(an-β)2an+1=an-β2an+1(an+1+α)
而α+β=-1，即α+1=-β，an+1-β=(an-β)22an+1，
同理an+1-α=(an-α)22an+1，bn+1=2bn，
又b1=ln1-β1-α=ln3+53-5=2ln3+52sn=2(2n-1)ln3+52

解析

-1+52

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+x-1，α，β是.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。