设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1．设bn=an2n，求证：数列{bn}是等差数列：设数列{cn}满足cn=1l

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）设b_n=an2n，求证：数列{b_n}是等差数列：
（2）设数列{c_n}满足c_n=1log2(ann+1) +1（n∈N^*），T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…c_nc_n+1，若对一切n∈N^*不等式2mT_n＞C_n恒成立，实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时：S₁=a₁=2a₁-2^1|1，解得a₁=4
当n≥2时
由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹ …①
且S_n-1=2a_n-1-2ⁿ …②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ
有：a_n=2a_n-1+2ⁿ
得an2n-an-12n-1=1，
∴b_n-b_n-1=1，
b1=a12=2，
故数列{b_n}是以2为首项，以1为公差的等差数列．
（2）由（1）得：b_n=1+2（n-1）=2n-1，
即a_n=（n+1）•2ⁿ．
∴Cn=1n+1，
∴Cn•Cn+1=1n+1•1n+2=1n+1-1n+2，
∴Tn=12-1n+2，
由2mT_n＞c_n，得：2m(12-1n+2)＞1n+1，
得m＞n+2n(n+1)，
又令f(n)=n+2n(n+1)，
∴f(n+1)-f(n)=n+3(n+1)(n+2)-n+2n(n+1)
=1n+1(n+3n+2-n+2n)＜0，
故f（n）在n∈N^*时单调递减，
∴f(n)＜f(1)=32，
得m＞32．

解析

an2n

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。