已知数列{an}的前n项和Sn=-an-n-1+2．求数列{an}的通项公式；令cn=n+1nan，Tn为数列{cn}的前n项和，试比较Tn

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（12）^n-1+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=n+1na_n，T_n为数列{c_n}的前n项和，试比较T_n与5n2n+1的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知a₁=-a₁-1+2，∴a1=12．
当n≥2时，Sn-1=-an-1-(12)n-2+2，
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(12)n-1．
∴2an=an-1+(12)n-1，即2ⁿ•a_n=2^n-1a_n-1+1，
设b_n=2ⁿa_n，则b_n-b_n-1=1，
∵b₁=2a₁=1，∴b_n=1+（n-1）=n=2ⁿa_n，
∴an=n2n．
（2）由（1）得cn=n+1nan=(n+1)(12)n，
∴Tn=2×12+3× (12)2 +4×(12)3+…+(n+1)×(12)n，①
12Tn=2×(12)2+3×(12)3+4×(12)4+…+n(12)n+(n+1)(12)n+1②
①-②得12Tn=1+ (12)2 +(12)3+…+(12)n-(n+1)(12)n+1
=1+14[1-(12)n-1]1-12-(n+1)(12)n+1
=32-n+32n+1，
∴Tn=3-n+32n．
T_n-5n2n+1=(n+3)(2n-2n-1)2n(2n+1)．
于是确定T_n与5n2n+1的大小等价于比较2ⁿ与2n+1的大小，
由2＜2×1+1，2²＜2×2+1，2³＞2×3+1，2⁴＞2×4+1，
可猜想当n≥3时，2ⁿ＞2n+1，证明如下．
（1）当n=3时，2³＞2×3+1，猜想成立．
（2）假设当n=k时，猜想成立，即2^k＞2k+1．
当 n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）-1．
所以，当n=k+1时，猜想也成立．
综合（1）（2）可知，对一切n≥3的正整数，都有2ⁿ＞2n+1．
∴当n=1，2时，T_n＜5n2n+1．当n≥3时，T_n≥5n2n+1．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=-an-.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。