已知数列{an}的前n项和Sn=12n(n-1)，且an是bn与1的等差中项．求数列{an}和数列{bn}的通项公式；令cn=an3n，求数列{Cn

题文

已知数列{a_n}的前n项和Sn=12n(n-1)，且a_n是b_n与1的等差中项．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）令cn=an3n，求数列{C_n}的前n项和T_n；
（3）若f(n)=an(n=2k-1)bn(n=2k)（k∈N^*），是否存在n∈N^*，使得f（n+13）=2f（n），并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由Sn=12n2-12n，由an=S1n=1Sn-Sn-1n≥2
求得a_n=n-1
又∵2a_n=b_n+1
∴b_n=2n-3
（2）Cn=n-13n
∴Tn=0×(13)+1•(13)2++(n-1)•(13)n13Tn=0•(13)2++(n-2)(13)n+(n-1)•(13)n+1
两式相减得：23Tn=1×(13)2++(13)n-(n-1)•(13)n+1
∴23Tn=(13)2•[1-(13)n-1]1-13-(n-1)•(13)n+1=16•[1-13n-1]-n-13n+1
∴Tn=14-14•13n-1-n-12•3n=14-2n+14•3n
（3）当n为奇数时：f（n）=a_n=n-1f（n+13）=2n+23
∴2n+23=2n-2⇒n∈ϕ
当n为偶数时f（n）=b_n=2n-3f（n+13）=n+12由题
∴2•（2n-3）=n+12⇒n=6为偶数
∴满足条件的n存在且等于6．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=12n(.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。