若i是虚数单位，则i+2i2+3i3+…+2013i2013=______．

题文

若i是虚数单位，则i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由虚数单位i性质可得i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=1，其中n为自然数，
设S=i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³，①
两边同乘以i可得：iS=i²+2i³+3i⁴+…+2013i²⁰¹⁴，②
①-②可得（1-i）S=i+i²+i³+…+i²⁰¹³-2013i²⁰¹⁴
=i(1-i2013)1-i-2013i²⁰¹⁴=i(1-i)1-i-2013×（-1）=2013+i，
故S=2013+i1-i=(2013+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2013-1+2014i2=1006+1007i
故答案为：1006+1007i

解析

i(1-i2013)1-i

考点

据考高分专家说，试题“若i是虚数单位，则i+2i2+3i3+….....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。