已知各项均为正数的数列﹛an﹜，对于任意正整数n，点在曲线y=12(x2+x)上求证：数列﹛an﹜是等差数列；若数列﹛bn﹜满足bn=

题文

已知各项均为正数的数列﹛a_n﹜，对于任意正整数n，点（a_n，s_n）在曲线y=12(x2+x)上
（1）求证：数列﹛a_n﹜是等差数列；
（2）若数列﹛b_n﹜满足b_n=1an•an+2，求数列﹛b_n﹜的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵各项均为正数的数列﹛a_n﹜，对于任意正整数n，点（a_n，s_n）在曲线y=12(x2+x)上，
∴Sn=12(an2+an)，①
∴S_n-1=12（an-12+an-1），n≥2，②
①-②，得an=Sn-Sn-1=12[（an2+an）-（an-12+an-1）]
∴an-12+an-1=an2-an，
∴an2-an-12=a_n+a_n-1，
∴a_n-a_n-1=1．
∴数列﹛a_n﹜是等差数列．
（2）∵Sn=12(an2+an)，
∴a1=12(a12+a1)，解得a₁=1，a₁=0（舍），
∵a_n-a_n-1=1．
∴a_n=1+（n-1）=n，
∴b_n=1an•an+2=1n(n+2)=12(1n-1n+2)，
∴数列﹛b_n﹜的前n项和
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=12（1-13）+12(12-14)+12（13-15）+…+12(1n-1n+2)
=12（1+12-1n+1-1n+2）
=34-12n+2-12n+4．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列﹛an﹜，对于任意.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。