已知数列{an}满足a□1-12+a2-122+…+an-12n=n2+n(n∈N*)．求数列{an}的通项公式；求数列{an}的前n项和Sn．

题文

已知数列{a_n}满足a□1-12+a2-122+…+an-12n=n2+n(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵a1-12+a2-122+…+an-12n=n2+n，(n∈N+)①
∴a1-12+a2-122+…+an-1-12n-1=（n-1）²+n-1=n²-n（n≥2，n∈N⁺），②
由①-②得：an-12n=2n，∴a_n=n•2ⁿ⁺¹+1，n≥2，n∈N⁺，③
在①中，令n=1，得a₁=5，适合③式，∴a_n=n•2ⁿ⁺¹+1，n∈N⁺．
（II）设b_n=n•2ⁿ⁺¹，其前n项和为T_n，则：
T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，①
2T_n=1×2³+2×2⁴+…+n×2ⁿ⁺²，②
②-①，得T_n=-2²-2³-…-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²
=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．
∴S_n=T_n+n=（n-1）•2ⁿ⁺²+n+4．

解析

a1-12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a□1-12+a2-.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。