对有n个元素的总体{1，2，…，n}进行抽样，先将总体分成两个子总体{1，2，…，m}和{m+1，m+2，…，n}（m是给定的正整数，且2≤m≤n-2

题文

对有n（n≥4）个元素的总体{1，2，…，n}进行抽样，先将总体分成两个子总体{1，2，…，m}和{m+1，m+2，…，n}（m是给定的正整数，且2≤m≤n-2），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用P_ij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P_1n=______； 所有P_ij（1≤i＜j≤n）的和等于______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

从{1，2，…，m}中随机抽取2个元素所有的抽法有C_m²，
从{m+1，m+2，…，n}中随机抽取2个元素所有的抽法有C_n-m²，
所以从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本所有的抽法有有C_m²•C_n-m²
从{1，2，…，m}中随机抽取2个元素其中抽到1的抽法有m-1种方法，
从{m+1，m+2，…，n}中随机抽取2个元素其中抽到n的抽法有n-m-1种方法，
由古典概型的概率公式得(m-1)(n-m-1)C2m•C2n-m=4m(n-m)
①当i，j∈{1，2，3，…m}，Pij=C2mC2m=1
②当i，j∈{m+1，m+2，m+3…n}，Pij=C2n-mC2n-m=1
③当i∈{1，2，3，…m}，j∈{m+1，m+2…n}，Pij=4m(n-m)×m(n-m)=4
所有Pij（1≤i＜j≤n）的和等于6
故答案为：4m（n-m）；6

解析

(m-1)(n-m-1)C2m•C2n-m

考点

据考高分专家说，试题“对有n（n≥4）个元素的总体{1，2，….....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。