各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn=(an+12)2．求数列{an}的通项公式；若1a1a2+1a2a3+…+1anan+1＜k恒成立，求k

题文

各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和Sn=(an+12)2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若1a1a2+1a2a3+…+1anan+1＜k恒成立，求k的取值范围；
（3）对任意m∈N^*，将数列{a_n}中落入区间（2^m，2^2m）内的项的个数记为b_m，求数列{b_m}的前m项和S_m． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵Sn=(an+12)2，
∴Sn-1=(an-1+12)2，n≥2，
两式相减得an=(an+12)2-(an-1+12)2，n≥2，…（2分）
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=2，n≥2，∴{a_n}是公差为2的等差数列，…（4分）
又S1=(a1+12)2得a₁=1，∴a_n=2n-1．…（5分）
（2）由题意得k＞(1a1a2+1a2a3+…+1anan+1)max，
∵1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，
∴1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]
=12(1-12n+1)＜12…（8分）∴k≥12…（10分）
（3）对任意m∈N₊，2^m＜2n-1＜2^2m，则2m-1+12＜n＜22m-1+12，
而n∈N*，由题意可知bm=22m-1-2m-1，…（12分）
于是Sm=b1+b2+…+bm=21+23+…+22m-1-(20+21+…+2m-1)
=2-22m+11-22-1-2m1-2=22m+1-23-(2m-1)=22m+1-3•2m+13，
即Sm=22m+1-3•2m+13．…（16分）

解析

an+12

考点

据考高分专家说，试题“各项均为正数的数列{an}中，前n项和S.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。