已知数列{an}中，a1=1，a2=3且2an+1=an+2+an数列{bn}的前n项和为Sn，其中b1=-32，bn+1=-23Sn(n∈N+).

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3且2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N⁺）数列{b_n}的前n项和为S_n，其中b1=-32，bn+1=-23Sn(n∈N+).
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，求Tn的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵2a_n+1=a_n+2+a_n∴数列{a_n}是等差数列，（1分）
∴公差d=a₂-a₁=2∴a_n=2n-1 （3分）
∵b_n+1=-23S_n∴b_n=-23S_n-1（n≥2）
b_n+1-b_n=-23b_{n，∴bn+1= 13bn}
又∵b₂=-23S₁=1
b2b1=-23≠13
∴数列{b_n}从第二项开始是等比数列，
∴bn=-32，(n=1)(13)n-2，(n≥2)（6分）
（2）∵n≥2时anbn=(2n-1)•3n-2（7分）∴Tn=a1b1+a2b2++anbn=-23+3×30+5×31+7×32++(2n-1)×3n-2
∴3T_n=-2+3×3¹+5×3²+7×3³++（2n-1）×3^n-1（10分）
错位相减并整理得Tn=-23+(n-1)×3n-1．（12分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，a2=3且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。