等比数列{an}为递增数列，且a4=23，a3+a5=209，数列bn=log3an2求数列{bn}的前n项和Sn及其最小值；若Tn=b

题文

等比数列{a_n}为递增数列，且a4=23，a3+a5=209，数列bn=log3an2（n∈N^*）
（1）求数列{b_n}的前n项和S_n及其最小值；
（2）若T_n=b₁+b₂+b22+…+b2n-1，求T_n的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等比数列的首项a₁，公比为q
则由已知可得，a3(1+q2)=209，a3q=23
两式相除可得，1+q2q=103
即3q²-10q+3=0
∴q=13或q=3
∵数列{a_n}为递增数列且a4=23
∴q=3
∴an=a4•qn-4=23×3n-4=2•3^n-5
∴bn=log3an2=n-5
∴sn=-4+n-52•n=n(n-9)2
由b_n≤0可得n≤5
（S_n）_min=s₄=s₅=-4×52=-10
（2）∵b2n-1=2^n-1-5
∴T_n=b₁+b₂+b22+…+b2n-1=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-5n
=1-2n1-2-5n
=2ⁿ-5n-1
∴Tn-1=2n-1-5(n-1)-1
=T_n-T_n-1=2^n-1-5＞0
∴n≥4
即有T₁＞T₂＞T₃＜T₄＜T₅＜…
∴（T_n）_min=T₃=2³-5×3-1=-8

解析

209

考点

据考高分专家说，试题“等比数列{an}为递增数列，且a4=23.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。