已知：Sn=+2+3+…+n若a=-1，则S100的值为多少？若a∈R，求Sn．

题文

已知：S_n=（a-1）+2（a²-1）+3（a³-1）+…+n（aⁿ-1）
（1）若a=-1，则S₁₀₀的值为多少？
（2）若a∈R，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）若a=-1，则S₁₀₀=-2-6-…-198=-5000    4分
（2）i．a=0时，Sn=-1-2-3-…-n=-n(n+1)26分
ii，a=1时，S_n=0   8分
iii a≠0且a≠1时S_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ-（1+2+3+…+n）
记T_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ①aT_n=a²+2a³+3a⁴+…+naⁿ⁺¹②
①-②得（1-a）T_n=a+a²+a³+…+aⁿ-naⁿ⁺¹
化简得：Tn=a(1-an)(1-a)2-nan+11-a14分
所以：Sn=a(1-an)(1-a)2-nan+11-a-(1+n)n216分

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知：Sn=（a-1）+2（a2-1）+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。