已知以a1为首项的数列{an}满足：an+1=an+d，an＜2qan，an≥2当a1=1，d=1，q=12时，求数列{an}的通项公式；当0＜a1

题文

已知以a₁为首项的数列{a_n}满足：an+1=an+d，an＜2qan ，an≥2
（1）当a₁=1，d=1，q=12时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）当0＜a₁＜1，d=1，q=12时，试用a₁表示数列{a_n}前101项的和S₁₀₁． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+1=an+d，an＜2qan，an≥2，a₁=1，d=1，q=12，
∴a₂=1+1=2，
a3=12×2=1，
a₄=1+1=2，
…
∴a_n=1，n=2k-12，n=2k，k∈N^*．
（2）当0＜a₁＜1，d=1，q=12时，
a₂=a₁+1，a₃=a₁+2，a4=a12+1，a5=a12+2，a6=a122+1，…，
a2k=a12k-1+1，a2k+1=a12k-1+2，
所以S₁₀₁=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₁₀₀+a₁₀₁）
=a1+(2a1+3)+(a1+3)+(a12+3)+…+(a1248+3)
=a1+2a1[1-(12)50]1-12+50×3=a1[5-(12)48]+150．

解析

an+d，an＜2qan，an≥2

考点

据考高分专家说，试题“已知以a1为首项的数列{an}满足：an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。