在直角坐标平面上有一点列P1，P2，…，Pn，…，对一切正整数n，点Pn在函数y=3x+134的图象上，且Pn的横坐标

题文

在直角坐标平面上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对一切正整数n，点P_n在函数y=3x+134的图象上，且P_n的横坐标构成以-52为首项，-1为公差的等差数列{x_n}．
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线C_n的顶点为P_n，且过点D_n（0，n²+1）．记与抛物线C_n相切于点D_n的直线的斜率为k_n，求1k1k2+1k2k3+…+1kn-1kn；
（3）设S={x|x=2x_n，n∈N*}，T={y|y=4y_n，n∈N*}，等差数列{a_n}的任一项a_n∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大数，-265＜a₁₀＜-125，求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵xn=-52+(n-1)×(-1)=-n-32，
∴yn=3xn+134=-3n-54．
∴Pn(-n-32，-3n-54)．
（2）∵C_n的对称轴垂直于x轴，且顶点为P_n，
∴设C_n的方程为y=a(x+2n+32)2-12n+54．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程为y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|_x=0=2n+3，
∴1kn-1kn=1(2n+1)(2n+3)=12[1(2n+1)-1(2n+3)]，
∴1k1k2+1k2k3+1kn-1kn=12[(15-17)+(17-19)++(12n+1-12n+3)]
=12(15-12n+3)=110-14n+6．
（3）T={y|y=-（12n+5），n∈N*}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N*}，
∴S∩T=T，T中最大数a₁=-17．
设{a_n}公差为d，则a₁₀=-17+9d∈（-265，-125．）由此得-2489＜d＜-12．
又∵a_n∈T．
∴d=-12m（m∈N*）
∴d=-24，
∴a_n=7-24n（n∈N*，n≥2）．

解析

52

考点

据考高分专家说，试题“在直角坐标平面上有一点列P1（x1，y1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。