设函数f(x)=13x3+nx2+(n2-1)x+1112n的导函数在区间[n，+∞）上的最小值为an求an；设bn=1an2，求数列b

题文

设函数f(x)=13x3+nx2+(n2-1)x+1112n的导函数在区间[n，+∞）上的最小值为a_n（n∈N^*）
（1）求a_n；
（2）设bn=1an2，求数列b_n]的前n项的和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f(x)=13x3+nx2+(n2-1)x+1112n
得f'（x）=x²+2nx+（n²-1）
在区间[n，+∞）上的最小值为4n2-1，
∴a_n=4n2-1．
（2）因为b_n=1a2n=14n2-1=12(12n-1-12n+1)，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=12[(1-13)+(13-15)+(15-17)+…+(12n-1-12n+1)]
=12(1-12n+1)．

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=13x3+nx2+(n2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。