若数列{an}和{bn}满足关系：an=1+bn1-bn，an+1=12(an+1an)n∈N*，a1=3．求证：数列{lgbn}是等比数列；设Tn

题文

若数列{a_n}和{b_n}满足关系：an=1+bn1-bn，an+1=12(an+1an)n∈N^*，a₁=3．
（1）求证：数列{lgb_n}是等比数列；
（2）设T_n=b₁b₂b₃…b_n，求满足Tn≥1128的n的集合M；
（3）设cn=2bnbn-1，{c_n}的前n项和为S_n，试探索a_n与S_n之间的关系式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵an=1+bn1-bn∴an+1=1+bn+11-bn-1 由an+1=12(an+1an)，得1+bn+11-bn+1=12(1+bn1-bn+1-bn1+bn)=1+b2n1-b2n，
∴bn+1=b2n，即lgb_n+1=2lgb_n，
又1+b11-b1=a1=3，b1=12，lgb₁=-lg2≠0，
所以数列{lgb_n}是等比数列，首项-lg2，公比2；
（2）由（1）得：lgbn=(-lg2)•2n-1⇒bn=(12)2n-1，Tn=b1b2…bn=(12)1+2+…+2n-1=(12)2n-1≥1128⇒2n-1≤7
∴2ⁿ≤8，即n≤3，又因为n∈N^*
∴M={1，2，3}；
（3）因为an=1+bn1-bn，所以an=1+(12)2n-11-(12)2n-1=22n-1+122n-1-1=1+2(22n-2+1)(22n-2-1)=1+122n-2-1-122n-2+1
同理an-1═22n-2+122n-2-1=1+222n-2-1，则an-an-1=2•22n-21-22n-1，又cn=2bn1-bn=2•22n-21-22n-1
∴a_n-a_n-1=c_n（n≥2），
∴a_n-a₁=s_n-c₁，
∵a1=3，c1=-22
∴an=Sn+3+22．

解析

1+bn1-bn

考点

据考高分专家说，试题“若数列{an}和{bn}满足关系：an=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。