已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=12．求数列{an}的通项公式，并比较sn与12的大小；设函数f(x)=log13x

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=12（1-a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式，并比较s_n与12的大小；
（Ⅱ）设函数f(x)=log13x，令b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求数列{1bn}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n≥2时，a_n=12（1-a_n）-12（1-a_n-1）=-12a_n+12a_n-1，
2a_n=-a_n+a_n-1，．∴anan-1=13，由S₁=a₁=12（1-a₁）得a₁=13
∴数列{a_n}是首项a₁=13公比为13的等比数列
a_n=13×（13）^n-1=（13）ⁿ．
由S_n=12（1-a_n）=12（1-（13）ⁿ）
∵1-（13）ⁿ＜1
∴12（1-（13）ⁿ）＜12
∴s_n＜12
（Ⅱ）f(x)=log13x，
∴b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=log13（a₁a2_…a_n）
=log13（13）^1+2+…n=n(n+1)2．
∴1bn=2n(n+1)=2（1n-1n+1）
∴T_n=2[（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）]=2nn+1．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。