已知A，B是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象上的任意两点，点M在直线x=12上，且AM=MB．求x1+

题文

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象上的任意两点，点M在直线x=12上，且AM=MB．
（1）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值；
（2）已知S₁=0，当n≥2时，Sn=f(1n)+f(2n)+f(3n)+…+f(n-1n)，设an=2Sn，T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c，m，使得不等式Tm-cTm+1-c＜12成立，求c和m的值．
（3）在（2）的条件下，设bn=31-Sn，求所有可能的乘积b_i•b_j（1≤i≤j≤n）的和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）根据点M在直线x=12上，设M(12，yM)，则AM=(12-x1，yM-y1)，MB=(x2-12，y2-yM)，
∵AM=MB，∴x₁+x₂=1．
①当x1=12时，x₂=12，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=-1-1=-2；
②当x₁≠12时，x₂≠12，y1+y2=-22x11-2x1+2x21-2x2=2x1(1-2x2)+2x2(1-2x1)(1-2x1)(1-2x2)
=2(x1+x2)-8x1x21-2(x1+x2)+4x1x2=2(1-4x1x2)4x1x2-1=-2；
综合①②得，y₁+y₂=-2．
（2）由（1）知，当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=-2．
∴f(kn)+f(n-kn)=-2，k=0，1，2，…，n-1，
∴n≥2时，S_n=f(1n)+f(2n)+f(3n)+…+f(n-1n)，①S_n=f(n-1n)+f(n-2n)+f(n-3n)+…+f(1n)，②
①+②得，2S_n=-2（n-1），则S_n=1-n．
又n=1时，S₁=0满足上式，∴S_n=1-n．
∴an=2Sn=21-n，∴T_n=1+12+…+(12)n-1=2-22n．
∵Tm-cTm+1-c＜12，∴2(Tm-c)-(Tm+1-c)2(Tm+1-c)＜0
∴c-(2Tm-Tm+1)c-Tm+1＜0
∵Tm+1=2-12m，∴2Tm-Tm+1=4-42m-2+12m=2-32m，
∴12≤2-32m＜c＜2-12m＜2，c，m为正整数，∴c=1，
当c=1时，2-32m＜12-12m＞1，∴1＜2^m＜3，∴m=1．
（3）bn=31-Sn=3ⁿ，bibj=3i+j，(1≤i≤j≤n)．
将所得的积排成如下矩阵：A=31+131+231+3…31+n 32+232+3…32+n  33+3…33+n   ……    3n+n，设矩阵A的各项和为S．
在矩阵的左下方补上相应的数可得B=31+131+231+3…31+n32+132+232+3…32+n33+133+233+3…33+n……………3n+13n+23n+3…3n+n
矩阵B中第一行的各数和S1=32+33+…+31+n=12(3n+2-9)，
矩阵B中第二行的各数和S2=33+34+…+32+n=32(3n+2-9)，
…
矩阵B中第n行的各数和Sn=3n+1+3n+2+…+3n+n=3n-12(3n+2-9)，
从而矩阵B中的所有数之和为S1+S2+…+Sn=94(3n-1)2．
所以S=12[94(3n-1)2-(32+34+…+32n)]=9×32n-36×3n+2716．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知A（x1，y1），B（x2，y2）是.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。