错位相减法求和：求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+xn-1．

题文

错位相减法求和：求和：S_n=1+3x+5x²+7x³+…+（2n-1）x^n-1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题可知，{（2n-1）x^n-1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{x^n-1}的通项之积．
∵S_n=1+3x+5x²+7x³+…+（2n-1）x^n-1，
∴xSn=x+3x2+…+(2n-3)xn-1+（2n-1）xⁿ，
两式相减得（1-x）S_n=1+2x+2x²+…+2x^n-1-（2n-1）xⁿ，
①当x≠1，0时，由等比数列的求和公式得：（1-x）S_n=1+2x(1-xn-1)1-x-(2n-1)xn，
∴Sn=(2n-1)xn+1-(2n+1)xn+(1+x)(1-x)2；
②当x=1时，S_n=1+3+5+…+（2n-1）=n(1+2n-1)2=n²．
③当x=0时，S_n=1+0=1．

解析

2x(1-xn-1)1-x

考点

据考高分专家说，试题“错位相减法求和：求和：Sn=1+3x+5.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。