数列{an}的前n项和为Sn=n2，数列{bn}满足b1=1，且bn=2bn-1+1，n≥2．求an，bn的表达式；设cn=an•bn，求数列{cn

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n=n²，数列{b_n}满足b₁=1，且b_n=2b_n-1+1，n≥2．
（1）求a_n，b_n的表达式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）an=S1=1                 (n=1)Sn-Sn-1=2n-1 (n≥2)（2分）
当n=1时，2n-1=1，所以a_n=2n-1（n≥1）（3分）
∵b_n=2b_n-1+1∴b_n+1=2（b_n-1+1）n≥2（4分）
∴b_n+1成等比数列，且首项b₁+1=2，公比q=2（5分）
∴b_n+1=2•2^n-1，∴b_n=2ⁿ-1（6分）
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1）=（2n-1）•2ⁿ-（2n-1）（7分）
令d_n=（2n-1）•2ⁿ，
记R_n=d₁+d₂+…+d_n
=1•2¹+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）．2ⁿ
则2R_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
相减，故R_n=-2-2•2²-2•2³-…-2•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6（10分）
故T_n=R_n-[1+3+5+…+（2n-1）]=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6-n²（12分）

解析

S1=1                 (n=1)Sn-Sn-1=2n-1 (n≥2)

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn=n2，数列.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。