数列{an}中a1=12，前n项和Sn满足Sn+1-Sn=(12)n+1．求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；记bn=n+12

题文

数列{a_n} 中a₁=12，前n项和S_n满足S_n+1-S_n=(12)n+1（n∈N^*）．
（ I ） 求数列{a_n}的通项公式a_n以及前n项和S_n；
（Ⅱ）记  bn=n+12an（n∈N^*）求数列{b_n} 的前n项和T_n；
（Ⅲ）试确定T_n与5n4n+2（n∈N^*）的大小并证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）s n+1-sn=(12)n+1得an+1=(12)n+1（n∈N^*）（1分）
又a₁=12，故an=(12)n（n∈N^*）（2分）
从而sn=12[1-(12)n]1-12=1-(12)n（4分）
（Ⅱ）由（I）bn=n+12an=n+12×2n=n+12n+1Tn=222+323+424++n+12n+1，（5分）12Tn=    223+324+425++n2n+1+n+12n+2（6分）
两式相减，得12Tn=    222+123+124+125++12n+1-n+12n+2（7分）
=12+123×(1-12n-1)1-12-n+12n+2=34-12n+1-n+12n+2（8分）
所以Tn=32-12n-n+12n+1=32-n+32n+1（9分），
（Ⅲ）Tn-5n4n+2=32-n+32n+1-5n4n+2=(n+3)(2n-2n-1)2n+1(2n+1)
于是确定T_n与5n4n+2的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小（10分）
n=1时2＜2+1，n=2时2²＜2×2+1，n=3时2³＞2×3+1（11分）
令g（x）=2^x-2x-1，g′（x）=2^xln2-2，x＞2时g（x）为增函数，（12分）
所以n≥3时g（n）≥g（3）=1＞0，2ⁿ≥2n+1，（13分）
综上所述n=1，2时Tn＜5n4n+2n=3时Tn＞5n4n+2（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中a1=12，前n项和Sn满.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。