设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．求数列{an}的通项公式；求a1+a3+…+a2n+1．

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且数列{S_n}是以2为公比的等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求a₁+a₃+…+a_2n+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵S₁=a₁=1，且数列{S_n}是以2为公比的等比数列，
∴S_n=2^n-1．（2分）
又当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-2（2-1）=2^n-2．（5分）
∴an=1(n=1)2n-2(n≥2).（7分）
（II）a₃，a₅，…，a_2n+1是以2为首项，以4为公比的等比数列，（9分）
∴a3+a5+…+a2n+1=2(1-4n)3．（11分）
∴a₁+a₃+…+a_2n+1=1+2(4n-1)3=22n+1+13．（13分）

解析

1(n=1)2n-2(n≥2).

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。