数列{an}满足an=2an-1+2n+1，a3=27．求a1，a2的值；记bn=12n(an+t)(n∈N*)，是否存在一个实数

题文

数列{a_n}满足 a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n∈N，n≥2），a₃=27．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）记bn=12n(an+t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{b_n}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由a₃=27，27=2a₂+2³+1----------（1分）∴a₂=9----------（2分）
∴9=2a₁+2²+1∴a₁=2------------（3分）
（Ⅱ）假设存在实数t，使得{b_n}为等差数列．
则2b_n=b_n-1+b_n+1------------（4分）∴2×12n(a n+t)=12n-1(a n-1+t)+12n+1(a n+1+t)
∴4a_n=4a_n-1+a_n+1+t------------（5分）∴4a n=4×a n-2n-12+2a n+2n+1+t+1∴t=1------------（6分）
存在t=1，使得数列{b_n}为等差数列．------------（7分）
（Ⅲ）由（1）、（2）知：b 1=32，b 2=52------------（8分）
又{b_n}为等差数列.b n=n+12∴a n=(n+12)•2n-1=(2n+1)•2n-1-1------------（9分）
∴S_n=3×2⁰-1+5×2¹-1+7×2²-1+…+（2n+1）×2^n-1-1=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）×2^n-1-n
∴2S_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）×2ⁿ-2n∴-S_n=3+2×2+2×2²+2×2³+…+2×2^n-1-（2n+1）×2ⁿ+n----------（11分）=1+2×1-2n1-2-(2n+1)×2n+n
=（1-2n）×2ⁿ+n-1S_n=（2n-1）×2ⁿ-n+1------------（13分）

解析

12n

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足an=2an-1+2n+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。