对任意x∈R，函数f满足f(x+1)=f(x)-[f(x)]2+12，设an=[f]2-f，数列{an}的前15项的和为-3116，则f（15

题文

对任意x∈R，函数f（x）满足f(x+1)=f(x)-[f(x)]2+12，设a_n=[f（n）]²-f（n），数列{a_n}的前15项的和为-3116，则f（15）=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f(x+1)=f(x)-[f(x)]2+12，
∴f(x+1)-12=f(x)-[f(x)]2，
两边平方得[f(x+1)-12]2=f(x)-[f(x)]2
⇒[f(x+1)]2-f(x+1)+14=f(x)-[f(x)]2，
即an+1+an=-14，即数列{a_n}任意相邻两项相加为常数-14，
则S15=7×(-14)+a15=-3116⇒a15=-316，
即[f(15)]2-f(15)=-316⇒f(15)=34或f(15)=14，
又由f(x+1)=f(x)-[f(x)]2+12≥12，
可得f(15)=34．
故答案为：34．

解析

f(x)-[f(x)]2

考点

据考高分专家说，试题“对任意x∈R，函数f（x）满足f(x+1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。