设数列{an}满足：a1=56，且以a1，a2，a3，…，an为系数的一元二次方程an-1x2-anx+1=0都有根α，β，且两个根α，β满

题文

设数列{a_n}满足：a1=56，且以a₁，a₂，a₃，…，a_n为系数的一元二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N^*，n≥2）都有根α，β，且两个根α，β满足3α-αβ+3β=1．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由3α-αβ+3β=1及韦达定理得3(α+β)-αβ=3anan-1-1an-1=1⇒an=13an-1+13(n∈N*，n≥2)．
（1）设有λ满足an+λ=13(an-1+λ)⇒λ=-12，即an-12=13(an-1-12)．
所以数列{a_n-12]是以（a1-12）为首项，13为公比的等比数列．
所以an-12=(a1-12)•(13)n-1⇒an=(13)n+12（n∈N^*）
（2）Sn=a1+a2++an=13+(13)2++(13)n+n2=n+12-12•(13)n

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足：a1=56，且以a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。