a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{an}是公差为正的等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-12bn．求数列{a

题文

a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{a_n}是公差为正的等差数列，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-12b_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；  
（2）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a₂+a₅=12，a₂•a₅=27，且d＞0，得a₂=3，a₅=9，∴d=a5-a23=2，a₁=1，∴a_n=2n-1，
在T_n=1-12b_n，令n=1，得b₁=23，当n≥2时，T_n=1-12 b_n 中，令 n=1得 b1=23，当n≥2时，
T_n=1-12b_n，T_n-1=1-12bn-1，两式相减得 bn= 12bn-1-12bn，bnbn-1=13 （n≥2），
∴bn=23(13)n-1 =23n  （n∈N₊）．
（2）cn= (2n-1)23n=4n-23n，∴S_n=2（13+332 +533+…+2n-13n），
∴13S_n=2（132+333+…+  2n-33n+ 2n-13n+1 ），
 两式相减可解得  S_n=2-2n+23n．

解析

a5-a23

考点

据考高分专家说，试题“a2，a5是方程x2-12x+27=0的.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。